# 【対談】前田圭介×矢萩邦彦『〝思考実験〟を考えるラジオ』第３回　アキレスと亀〜時空は無限分割できるのか？ はい、みなさんこんにちは。アルスコンビネーターの江萩邦彦です。 この番組では、教養とリベラルアーツをテーマに、自由で豊かに生きていくためにはどうしたら良いのかを、みなさんと考えていきたいと思います。 今日はね、第3回になりますが、試行実験入門を出版されたばかりの前田恵介さんをゲストにお招きして、生放送でお送りしていきます。 どうも前田さん、こんばんは。 はい、こんばんは。前田です。よろしくお願いします。 というわけでですね、今日はテーマはアキレスとカメということなんですが、 まずアキレスとカメって、でも結構知名度がありますよね。 有名なやつですがあると思います。私も何か算数か何かの授業で紹介されたか、 なんか本とか図鑑みたいなので読んだか、なんかで聞いたことはあるみたいな、そんな感じだったと思います。 そうですよね。どっかで聞いたことがある方が多いかなと。いろんなね、僕も試行実験やりますけれども、 これは知っているって言われることが一番多いものの一つかもしれない。 でもそんなによく知られているのに、なんか改めてどういう話だったんですかだっけって聞くと、 ちょっと忘れましたっていうのが多いんですよ、これ。 そうですね。 記憶に残りにくいのかな。 なんか、なんなんでしょうね。アキレスと壁に話があったようで満足しちゃうというか、 とりあえず知っているので通過されがちな印象は私もすごくありますね。 これなんかね、人間の認知のエアポケットをついているような話題なのかなって気がしているのに。 はあ、なるほど。面白いですね。 だからなんかこれを理解するのを脳が拒否をするというか、なんか受け入れないところがあるのかなっていうね。 そんなこんなで、アキレスの亀、簡単に説明をします。 ちなみにお便りだとかね、大募集しておりますので、質問だとか疑問だとかメッセージだとかコメントとかいただければ幸いです。 はい、ぜひよろしくお願いします。 お願いします。 ではアキレスの亀は、最初に紹介したのはこのゼノンの作品をアリストテレスカなんかが紹介したのが最初だったっけか。 だったと思いますね。 自伝学ですよね。どんな話なのかというと、とにかくアキレスというのは瞬速で有名だったわけですよ。めっちゃ足が速いと。 アキレス圏のアキレスですね。その足が速いでおなじみのアキレスが亀と勝負することになったという試行実験なんですね。 亀はハンデとして100m先からスタートするとする。 亀は100m先から少しずつ動いていくわけですよ。アキレスはそこから亀を追いかけるという競争ですね。 ところがゼノンはこういうわけです。アキレスは亀には追いつけないよと。 なぜならばアキレスが亀の出発地点である100m先に到着したときには亀は遅いけれども少し必ず進んでいる。 仮にA地点に行ってるとしましょう。アキレスが亀の出発地点まで行ったときには亀はA地点にいます。 じゃあ次、アキレスはA地点を目指します。A地点に到達したときには亀もやっぱりちょっとは進んでるわけですよ。 B地点に到着しています。じゃあ今度は亀が今いるB地点を目指してアキレスが出発する。 で、着いたときにはやっぱり亀はほんのちょっとだけ進んでるわけですよ。C地点に。 っていうことが永遠に繰り返されるので、アキレスは亀には永遠には追いつけないのだというのがゼノンが提示したパラドクスなんですね。 どうですか?これ。 若っ。 それこそ存在だけは小さい頃から知っていて、上手いこと考えるなぁと思って。 それこそさっき認知のエアポケットっていう話がありましたけど、確かに不思議だけどまあそんな考え方もあるかみたいな感じで、なかなか気にしてなかったというか。 どう深めればいいのかなぁみたいなのを結構大人になるまでずっとよくわからずにいたパラドクスのうちの一つだなぁというのは、個人的な印象ですけど、思ってたところですね。 なるほどね。前ちゃんの本の中での定義とか解説ってのはどういうふうにされてるの? 基本的には、状況としては今説明していただいた通りなんですけど、今回のこれって、どっちとも捉えられて不思議だよねとか、例えば前やったテセウスの船だとか、第2回でやりましたけども。 第1回がテセウスの船、第2回が砂山でしたけど、モラルジレンマとかどういう見方をするかっていうのとはちょっと違うタイプのやつなので、あんまりこの考え方がどっちでもできて不思議だよねというよりは、 ここを切り口に無限という、あんまり多くの人が引っかからずにそのまま通過しちゃうようなものに対してどういう見方ができるのかみたいなところを私の本の中では少しさらっとですが、紹介したというような感じです。 無限っていうものを受け入れられるかどうかっていうのが結構鍵なのかなっていうふうに思うんですよね。ちなみに、追いつけないっていうふうに思う人ってどれくらいいるのかな? どうなんでしょうね。追いつけないって言われたのに対して、普通そのまたまたそんなっていう反応の方は常識的というか普通かなと思うんですけど。 またまたそんな反論してくださいっていう話だよね。 だいたいそこからあんまり深まらないというか、なんか多分ゼロも変なこと考えるなみたいなので、あんまり気にされすぎきてるようなものかなっていうのはありますね。 無限と有限っていうのを考えたときに、ヒルベルトのホテルっていう試行実験があります。これはすごく簡単にざっくり言うと、無限の部屋を持っているヒルベルトホテルがあるんですよ。無限の部屋がありますよと。 無限の客室があって、しかも満室なんですよ。じゃあその満室の無限に客室があるホテルに新しくお客さんが入ることになってしまいましたと。お客さんが来ちゃいました。 普通だったら、はいもう満室なんで止められませんよっていうふうになるんだけれども、無限ホテルは無限に客室があるんですよ。ということはどうすればいいのか。 1号室のお客さんにちょっとずれてもらいましょう。2号室に。2号室のお客さんは3号室にずれてもらいましょう。3号室のお客さんは4号室にずれてもらいましょうっていうふうに延々にやると、無限この客室数があるんだから、全員ずれることが可能なはずなんですよね。 そうすると新しく来たお客さんが1号室に泊まれるわけだ。っていう話を聞いたときにね、なるほどって思える人がどれくらいいるか。僕は結構数学っていうものに向かえるかどうかの重要な分水嶺じゃないかと思っているんですよ。 納得、どうですかね。納得いく人ってどれくらいいるんだろうね。 ヒルベルトのホテルは具体的なホテルの客室をイメージする。聞いたときに具体的な物体をイメージするので、それが無限って言われたときに移るっていうことができるのかって多分ちょっとはてなはてなってなる人の方が多いのかなと思うんですよね。 でも実は一般的な数学、下手するとちゃんと習うのは高校だと思うんですけど、小中学校でも場合によっては1たす2分の1たす4分の1たす8分の1たす16分の1たすみたいなどんどん小さくなる数を足していくと最終的にいくつに近づきますかみたいな計算ってありますけど、 それの計算方法って実は今ヤハギさんが解説してくださったヒルベルトのホテルとやってること同じなんですよね。無限引く無限で全部消えるから、最終的には2に限りなく近づくよね。ほらこういう計算でできるでしょっていう風になるので。 だから今の話ってホテルで聞くとうんってなるんだけど、普通に数と操作としてやるともうてんてんてんってなっちゃうので、まあそんなぼっかみたいな感じで、とりあえず数学だと受け入れてくださいって確かになると思いますし、逆にそこを受け入れてねっていうのが数学の分数理というのはすごくわかる気がします。 そこたぶんきっかかっちゃうと高校数学とかつらいだろうなっていう気がしますよ。 結局なんか循環小数みたいなものとか3分の1は0.33333だみたいなのって小学校の時に僕は最初につまずいたとこだったんですよ。 そうですよね。違和感ありますよね、それ。 3分の1に3かけたら1でしょ。じゃあ0.33333に3かけたら0.9999ですよね。イコールなの?っていう。それを1としてそれが数学なんだっていう風に言われたら、それが数学なんだって言われたら、数学っていうのはそういう風に完璧じゃないんだなっていう風に思えたと思うんだけど。 割と数学っていうのは最も理論的に完璧なものなんだみたいな文章がすごく多いじゃないですか。特に小学校とか中学校の時って。 そうですね。 一番正確なんだよみたいな。そういう風に言われちゃって、そういう矛盾から目を背けられてしまうと受け入れにくくなっちゃうというか、こっちがおかしいのかっていう風に思ってしまうっていうね。 そうですよね。そこの疑問には算数や数学の先生は、もちろん本当に詳しい先生だったら答えてくれると思いますけど、基本は答えてくれないことの方が普通だと思うので。 そうなんだよね。それってさ、例えば僕がよくやるデモクリストスのジレンマだとかもそうですが、円錐を半分に切りました。切った断面、上側と下側に断面ができるけど、これの面積は同じか違うかっていう話があるじゃないですか。 ありますね。 で、これっていうのはもう本当に先生たちの研修とかでも僕、いきなり投げつけたりとかするんですけど、本当になんか割れるんですよね、完全に。で、同じ派と違う派に分かれると。で、同じか違うかで論争しちゃうと、それこそ何にも解決しないので、ここで大事になってくるのが前提っていう話になってくると。 だからこれは数学的には断面は同じじゃないと困るんですよ。そういうもんだから。だから数学的には同じなんだけれども、でも物理的には絶対違うはずなんですよね。同じであれば必ず円柱になってしまうので、もう原子一粒でも、デモクリストスは原子の探求をしてた人ですからね。 ちょっとでも違いが少なければ円数にはならんはずだと。だから現実的にはとか、物理的には違くなるはずだけど数学的には一緒だよねっていう、この何々的には何々だけど何々的には何々っていう、そういう捉え方をする練習をしないと無駄な論争が多いなっていうふうに思うので、そこ大事だよねっていうふうによく例を出すんだけども。 僕このアキレスとカメも同じだと思うのよ。 なぜヒルベルトのホテルをかましたかというと、結局無限というものがあるとしてって話じゃないですか。 そうですね。 その無限という概念を受け入れるとするとこう、受け入れないとするとこうっていうのがヒルベルトのホテルではあると。 じゃあアキレスとカメの場合は、無限分割という現象を信じられるかどうかということにかかってるわけだよね。 そうですね。 カメが行った距離に追いつくまで、それがどんどん短くなって、その距離が最終的に無限に小さくなっていくっていうと思うんですね。 結局、これさ、そのモヤモヤ屋の部分を前ちゃんだったらどう説明する? そもそも、これがきれいな説明かどうかっていうところはあると思うんですけど、無限に分割できるっていうのは、一応理論上はできるじゃないですか。 1、2分の1、4分の1、どんどん小さくっていうのはできると思うんですけど、その分割できるっていうところと、それが本当に実体を持った距離とか数としてその小さい無限小が存在するっていうのって、同じじゃないよねっていうところがポイントかなと思っている。 なるほどな。すごい高度な説明だよな。 それは私は割と大人になってからそういう説明にあって、それが今のところ一番納得できてるんですが、じゃあ小学生でそれでって言うと確かに難しいなっていうのは自分で覚えますね。 これね、俺小学生に速さの問題を教えてるときに、突然全く速さが全然分かんないっていう子ってそんなに多くないんですよ。じゃあどのポイントから全く分かんなくなるかというと、2つのものが両方動いてる状態になると分かんなくなるんですよ。 アキレスの亀、俺鍵だなと思ってて、結局ポイントって時間っていうのは無限なんですかって言われたら時間は有限なんですよ。だから有限である以上、有限部分は分割できるけれども、その有限はいつか尽きるわけで尽きたら終わりですよねって話で、無限にはできないって話なんだけども、これをうまくするために、 例えばね、僕のアレンジはこうなんですよ。亀とアキレスが同じように100m離れたところからスタートします。全部条件は同じです。ただし、亀と同じスピードで逆向きに動いてるベルトコンベアーの上でやるんですよ。 そうすると、亀と同じ大きさで逆向きにベルトコンベアーが動いているので、亀は歩いても歩いても進んでない状態になります。亀の速度分だけアキレスは引かれたスピードで亀に近づいていくことになります。 じゃあその後どうなるか想像すれば簡単ですよね。普通に追い抜いていく。っていう風にすると、結局これって有限無限っていうものをどういう風に捉えるのか。有限の部分、時間はあるんだけど無くなるんだよっていうこと。無くなったら分割目標もないんだよみたいな。そういった感覚って片方をゼロにする。片方を止めることで、亀落ちやすくなるんじゃないかなと思うんだよね。 なるほど。確かにそれこそ速さの計算でつまずく生徒に解説するときとかも、やっぱり算数の中学受験の受講師の先生とかで慣れてる方だと、一旦こっちは固定して考えようっていう風にやって問題の条件を整理するっていうのはよくやるというか。 一番回答、解説をシンプルにするときに割とやるかなと思うので。そうすると直感に割と反差ない形にはなりますよね。 一回直感で捉えられると、両方動き出してもなんとなく方向性が見えるじゃない。割といろんな試行実験をやっていると、それは小学生には難しいんじゃないか、中学生には難しいんじゃないかっていう試行実験出会うんだけど、そういうアレンジをすることで頭を動き出させるっていう Tipsというかアレンジっていっぱいまだ可能性があると思うんだよね。 そうですね。しかもちょっとこれは脱線切りの話になりますけど、今みたいな話が、中学実験やある小学校の算数で出てくる速さっていうところだったので、もしかしたら中学実験関係ないよっていう風に思ってる人も聞いてくださってる方の中にはいるかもしれないですけど、 これ結構、中学物理の理科とか高校の物理とかでも結構つまずく人が多いような気がしていて、私ちょうど今、高校1年生のクラスを持っているので、高校1年生が物理基礎っていう科目に苦しんでいる姿をよく目撃してるんですけど。 やっぱり物体が一個動いて、それが例えば投げ上げ、物体を上に投げましたとか斜めに投げましたとかまでいけても、相対速度っていう概念が出てきた瞬間になんでみたいになって、直感的に捉えられないからみんなそこでわかんなくなっていくみたいなのを場のあたりしてて。 でも確かに自分も物理全然得意じゃなかったので、そのあたりでよくわかんなくなったなっていうのを、その記憶が生徒たち見てると呼びかえってきて。今みたいなところも、そういう問題ではい次ってやっちゃうと、結構その先々につまずいたりわかんなくなったり、結局困るポイントは後になって出てくるよなみたいなのは、今ちょっと話を伺いながら、そんなことを思い出してました。 なるほど。でも今の話だとさ、その相対性みたいなものを理解できるかどうかっていうか、すごいポイントだと思うんだけど、この試行実験も相対っていうものを理解するためっていう機能を考えたらさ、これ客観的に見てんじゃん、アキレスとカメを。 あ、そうですね。 あなたとアキレスとか、あなたとカメでやってみればいいんだよね。頭の中で試行実験をね。 そうそう、そうですよね。 そうすれば絶対にカメはあなたに追い抜かれるし、あなたがカメサイズだったらアキレスに追い抜かれる。 ということはその相対性、3点でね。カメ的に考える、アキレス的に考える、客観視点で第三者として考えるっていう3つをやって初めて相対的っていうのがわかる。 それをやって初めて、要はこのアキレスとカメという話をどういうふうに学びにつなげるかというか、これが何の役に立つ話なのかということをちょっと掘り下げたいんだけども、 俺はこれって、理論と現実のギャップを体感するためのものだと思ってるのね。 例えば、簡単に観測できる現象っていうのがあると。その簡単に観測できる現象を理論編長で考えることにあんまり意味はないんじゃないかということ。 逆に観測できないことがあるんだったら、それこそ理論的に考えたり試行実験をする意味がある。 もちろん理論っていうのは大事なんだけれども、ちょっと考えてわからなかったりやってみれる、観察できるんだったらやってみたり観察してみたらいいじゃない。 っていうのがこのいい例だと思うんだ、アキレスとカメの。 だって理論的には反論できないと思っても、やってみたら絶対追い抜くわけだよ。 ということは何かがおかしいわけじゃない。この理論には何らかの視点が足りないわけじゃない。 だからそういう体験をすると理論を盲信しないし、どういう時にその理論というものが使えるのかということもちゃんと相対化できるような気がするんだよな。 そうですね。今の話の例として適切かわかんないんですけど、たまに小学校、中学校ここでもいいんですけど、理科実験で実際にこの法則が成り立つかどうかを検証してグループでやってみようみたいなのがあると思うんですよ。 実験とかでやるやつで。基本的に教科書に載ってる理論って当然みんな正しいと思って、実際多くの授業の方とそれを検証するような形でやるものなので、実際に実測値を出してみました。 観測したりあるいは測ってみました。何かずれましたってなった時に、大体それは理論の方が正しくて、じゃあこれは測定誤差ですねっていうレポートをほとんどの人は書いて終了するわけですよ。でもその測定誤差って、 何かタイミングで摩擦があったかなとか、これがやり方がよくなかったかなとか、本当にその理論や法則が100%正しくて、あなたの観測のずれが100%間違ってていいんですか?みたいなことはよく思っていて。私、中学ぐらいまでのときはそんなに思わなかったんですけど、高校で科学実験やって、バトメレポートを書いたときに、何かその違和感に初めて口当たったんですよね。 実験やる意味みたいな話で。よく僕も私立の理科の先生とかから、大手塾でガリガリ詰め込み型の学習をやってきた子が、理科の実験ができないっていう相談を受けるんですよ。 で、要は実験を真面目にやらんと。なんでやらんかというと、やらなくても答えがわかってるだろうっていう理論を知ってるからね。その実験はこうなるのであると。もしそうならなかったら、実験が間違ってるから、やる意味はそもそもない、はい論パンみたいな感じで言ってくれるんですよ。 でも今の前ちゃんの話ってもうそのままそうでさ、実験やったら多分理論通りになることの少ない実験が多いわけですよ。立体やったらじゃあずれるよと。じゃあそのなんでずれたのかっていうことを探求することに意味があるわけじゃない。 なんでずれたのか、どうしてこの数値になったのか、その可能性は何なのか、どうして観測間違ったのか、観測間違った可能性以外にもいろんな可能性があって、結局理論と現象というか実際にやってみた実験の違いっていうものがわかんないと相対化の感覚も身につかないと思うんだよね。 そうですね、それが本当に大事な点だと思いますね。 それ最初に言っちゃったらいいんじゃないかなと思うんだけど、皆さんの実験は、これからやる実験は多分理論とは違う数字が出ます。それは何かというのが今回の謎解きですみたいな、最初に目的提示しちゃえばやるんじゃないかなと思うんだよね。 むしろそういうところに謎解きって今、ヤギさんもおっしゃってましたけど、なんでそうなるのか、理論が100%正しいと言い切れないところを深めていくためみたいなのがあると思いますし、ある意味そういうところに科学の発展というものを後押しする面白さだったりヒントだったりっていうのがあるわけじゃないですか。 実際だって、過去新しい発見をしてきた科学者ってだいたい今まで通りやってみたら実測値とどうも違う。例えば仮定の動きがどうも理論通りにいかないじゃん、なんでだみたいなところから惑星軌道の理論が修正されたりとか、ほとんどはそういう形ですよね。 そっちのほうを先に言っちゃって、その面白さを追体験してもらうって言ってあれば、今の学校教育の理科教育の国民の中でも十分できると思うんですけどね。 いや、そのとおりですね。やっぱりそこはもう先生たちもそうだし、じゃあ何のために実験をするのっていうのが、理論がずれているのか、データがずれているのか認知がずれているのか、どれかがずれてるから結果がずれるわけですよね。 っていうふうな感覚を持って物事に対処すれば、問題解決っていうものをしやすくなるはずなんでね。シェアできる形で問題解決を提示できるというか。そこらへんが曖昧なまんま、いろんなことの問題解決を生徒たちにさせようとしすぎてる気がするんだよな。 そう、そこは先ほど何々的に正しいとか同じ、違うっていう前提をきちんと明確にすることっていうのの重要性をデモクリトスとお話からお話しされてましたけど、 そこの何々的にっていう部分を意識する機会ってどうしても学校教育だと少ない。数学でこういうふうな数の並びをしてるよっていうふうに教えられたら、もうその世界観をとりあえず全部受け入れるところかなと思うんですし、 物理や科学がこういうふうな知見を積み上げてきたから、これは科学的に正しいって言われてしまえば、そういうもんだっていう枠組みがインストールされた状態から生徒たちは学んでしまうしっていう。 そこの何々的に正しい、何々的な前提として受け入れるのかみたいなところに、教育者もしかしたら、学校の先生だけじゃないですけど、そこでちょっと自覚的になるだけでも学びてもう一歩豊かになるのかもしれないなって今ちょっと伺ってて思いました。 理科的とか科学的あるいは数学的な話にこのアキレスと亀の話を入れるっていうのは割とやりやすいと思うんだけど、例えば社会的、社会科的、社会学的にこういうテーマだとかトピックの時にこの話を組み合わせるといいよねみたいなアイディアってある? はー、えー、あのー、これはちょっと高度な扱い方にはなるんですけど、 やっぱり私は高校で色んな社会科の科目を持ってる中で倫理とかも教えてきたんですけど、やっぱり倫理の中で科学史、科学哲学の扱いって人物名は出てくるんだけれども、なかなかそれがどういうインパクトがあるのかみたいなところまでやっぱり十分掘り下げられてないなというのが教えてる側の印象としてあって。 でもその中で、科学の知見っていうのが積み上げられてきた、科学の進歩っていうものがあったんだよっていう歴史からの、でもじゃあ科学の真理って何っていうのが19世紀の、それこそヒルベルトとかその少し後ぐらいからですよね、由来でくるっていう、それこそクワインとかって多分倫理の教科書に名前だけは出てくるんですけど、多分ほとんど 確かに、名前だけなのかなって。 そうなんですよね。ポパーのクワインとか、あとはクーンか、その辺とかの扱いがすごいやっぱりやってて雑だし、これはわからんよなみたいなのが気になっていて。そういうところへの入り口として、例えばアキレスとカメだったりとか、無芸っていうものをどう考えるのか、何を科学の前提とするのかみたいなところを考えていくヒントがあるかもなっていうのはちょっと思っているところです。 まさにその通りですね。例えば統計学に何が意味があるのかみたいな話だとか、機能的に考えることっていうことの前提として何があるのかとかね、そういった話っていうのは社会科でもいっぱい出てくるじゃない。 そうですね。 そういう話と組み合わせるっていうのはすごくありだな。俺これ小学生にも結構するんだけれども、やっぱり算数嫌いとか数学嫌いにならないために先回りして注射するみたいな。 もやもやさせといて別にそれでいいんだぜっていうことを先に言っとかないと、勝手にもやもやして嫌いになっちゃう子たちがいっぱいいるから、そういうときにも使えるなと思うんだよね。想像しやすいじゃん、これ。 受け入れるのが簡単な出てくるやつ2人しかいないしみたいな。 別にそんな自分ので判断の道徳心がどうとかって試されてるわけでもないので。 いいのか悪いのかの話でないっていうところもいいよね、これはね。 やっぱり科学とは何ぞやみたいな、それこそポパーの話なんていうのは僕は小学生にしても別にわかるだろうと思ったよね。 そういうのをちょいちょい入れていく。そのために翻訳とか翻案とかアレンジっていうのが多分鍵になってくるんだろうね。 そうですね。 まえちゃんの本とかで紹介されてる試行実験とかってもう宣伝されてるじゃない。 もう形としてこういうものとして紹介されてますよっていうようにルーフしてますよっていう形を割とそのまま乗っけてるものがほとんどですね。 その骨組みしっかりしてるんだから、そこをじゃあどのようにアレンジするのかみたいな。 その辺は生徒の前に立つ人間として楽しい挑戦ですよね、そこら辺がね。 はいはいはい。 そんなこんなで、本日はアキレスとカメについて。意外にどんぐらい話すことあるかなと思ったら普通に30分以上経ちましたね。 そうですね、あっという間でしたね。私も今言われたらもう30分経ったかって気がついたんですけど。 もう自己紹介やら何やらかんやら全部ショートカットしていきなり話し始めた割には割と内容の濃いことを喋ってたなという印象でございますので。 ぜひ皆さんも今聞いてる皆さんもあれ、この人たちさっき何言ってたみたいなのあると思うので、2回ぐらい聞き返していただいて試行実験を楽しんでいただければいいのかななんていうふうに思います。 というわけで、じゃあ今日はここで生放送分は結びにしようかな。 そうですね、はい。 はい、というわけで今回は試行実験、アキレスとカメについてお送りしました。楽しんでいただけたでしょうか。 フォローしていただいてね、扱ってほしいテーマとか質問・感想なんかも常にお待ちしておりますので、ぜひ送ってみていただければなと思います。 ではまた次回お目にかかりましょう。RCコンビネーター、やはり国事。 はい、前田圭介でした。 はい、では皆さんお休みなさい。 失礼します。ありがとうございました。